Дано: загородный дом 10,5×7,5 м. Расчетная нагрузка на крышу по первому предельному состоянию Qр = 317 кг/м², по второму предельному состоянию Qн = 235 кг/м². План крыши с размерами указанными на рисунке.

Решение:

1. Находим нагрузки по предельным состояниям, действующим на первый прогон:

qр = Qр×a = 317×3 = 951 кг/м
qн = Qн×a = 235×3 = 705 кг/м = 7,05 кг/см

2. Рассчитываем максимальный изгибающий момент, действующий на этом прогоне (формула на рис. 25):

М2 = qр(L³1 + L³2)/8L = 951(4,5³ + 3³)/8×7,5 = 1872 кг×м

3. Произвольно задаемся шириной прогона, b=15 см и по формуле (3) находим его высоту:

h = √6W/b = √6×1440/15 = 24 см,
где W = M/Rизг = 187200/130 = 1440 см³

По сортаменту пиломатериалов ближайшая подходящая балка имеет размеры 150×250 мм. Выбираем ее для последуещего расчета.

4.На самом длинном пролете проверяем прогон на прогиб по формуле (2).

Сначала определяем нормативный прогиб:

fнор = L/200 = 450/200 = 2,25 см,

затем расчетный:

f = 5qнL⁴/384EI = 5×7,05×450⁴/384×100000×19531 = 2 см,
где I = bh³/12 = 15×25³/12 = 19531 см⁴

Условие выполнено 2 см < 2,25 см, прогиб прогона получился меньше нормативно допустимого. Сечение первого прогона определили, будет применен брус размерами 150×250 мм. Если бы расчетный прогиб получился больше нормативного, то нужно увеличить сечение (лучше высоту) прогона.

5. Находим нагрузки, действующуе на второй прогон.

От расчетной равномерно распределенной для первого предельного состояния она будет равна: qр = Qр×b = 317×3 = 951 кг/м;
для второго предельного состояния qн = Qн×a = 235×3 = 705 кг/м = 7,05 кг/см

В точке соединения прогонов от действия первого прогона на второй, будет приложена сосредоточенная сила Р (формула на рис. 25):

по первому предельному состоянию Рр = RB = qр b/2 - M2/b = 951×3/2 + 1872/3 = 2051 кг
по второму предельному состоянию Рн = RB = qн b/2 - Mн/b = 705×3/2 + 1388/3 = 1520 кг,
где

Мр = qр(L³1 + L³2)/8L = 951(4,5³ + 3³)/8×7,5 = 1872 кг×м

Мн = qн(L³1 + L³2)/8L = 705(4,5³ + 3³)/8×7,5 = 1388 кг×м

6. Сначала нужно определить по какой формуле будем просчитывать максимальный изгибающий момент на втором прогоне, для этого находим соотношения сил Р/qрL и длин приложения силы c/b (см. рис. 25):

Рр/qрL = 2051/951×7,5 = 0,29;      c/b = 4,5/3 = 1,5

c/b получилось больше, чем p/qрL, значит максимальный момент рассчитываем по формуле:

Ммах = ab(qрL + 2Pр)/2L = 4,5×3(951×7,5 + 2×2051)/2×7,5 = 10112 кг×м

7. Произвольно задаемся шириной прогона, b=20 см и по формуле (3) находим высоту прогона:

h = √6W/b = √6×7778/20 = 48 см,
где W = Mмах/Rизг = 1011200/130 = 7778 см³

Брусьев такой высоты в сортаменте пиломатериалов нет, значит принимаем решение взять два бруса размерами 200×250 мм, уложить их друг на друга, скрутить шпильками и сшить стальными пластинами МЗП либо изготовим балку с деревянными связями. Таким образом получим балку шириной 200 и высотой 500 мм.

8. Проверяем составную балку на прогиб по формуле рисунка 25. Сначала определяем нормативный прогиб:

fнор = L/200 = 750/200 = 3,75 см

Затем расчетный, в нашем случае он рассчитывается как сумма прогибов от приложения к балке равномерной нагрузки и сосредоточенной силы:

f = 5qнL⁴/384EI + PнbL²(1 - b²/L²)√3(1- b³/L³)/27EI =
=5×7,05×750⁴/384×100000×208333 + 1520×300×750²(1 - 300²/750²)
√3(1 - 300³/750³)/27×100000×208333 = 1,4 + 0,7 = 2,1 см,
где I = bh³/12 = 20×503/12 = 208333 см⁴

Расчетный прогиб получился меньше нормативного 2,1 см < 3,75 см, значит составная балка удовлетворяет нашим требованиям. Таким образом, первый прогон принимаем из цельного бруса 150×250, второй — составным, общей высотой 500, а шириной 200 мм.

Расчет явно показывает, что введением под место пересечения прогонов дополнительной подпорки можно было бы исключить сосредоточенную силу и уменьшить сечение второго прогона, а при данных в примере размерах строения, сделать его равным первому прогону.